noviembre 27, 2022

Baricentro y velocidad promedio

T.E.L: 5 min.
Un problema de velocidad que se suele responder mal. ¿Por qué? Contiene una singularidad.
En algunos sitios web y en un canal de Youtube se habla del “Acertijo del auto de Einstein”. Se cita del libro Risk Savvy: How to Make Good Decisions, de Gerd Gigerenzer, un supuesto problema que le habrían enviado al físico alemán. No he verificado si eso es cierto, pero no es importante, ya que el problema resulta de interés de todos modos.
El problema se presenta de diferentes maneras, teniendo en cuenta que se formula en inglés, con otras unidades de medidas. Es así:
Un auto sube por una colina durante 1 km, a 15 km/h. Luego debe bajar la colina durante otro tramo de 1 km. ¿A qué velocidad debería realizar el segundo tramo, si la velocidad promedio final es de 30 km/h?
Pista: la respuesta no es 45 km/h.
Lo que haremos aquí será ver:
1-¿Por qué damos esa respuesta, que es incorrecta?
2-Una forma de pensar el promedio en relación al baricentro.
3-Aplicaremos el punto 2 a otros problemas, de práctica.
4-Aplicaremos el punto 2 al problema original y lo resolveremos en forma aritmética.
1-¿POR QUÉ RESPONDEMOS MAL ESTE ACERTIJO?
Probablemente, lo que hacemos al pensar el problema es buscar el promedio a partir de los datos ofrecidos en el enunciado:
15+x=Promedio 30. Como el promedio aritmético lo calculamos sumando los valores y dividiendo por la cantidad, y como son dos km (o dos tramos), entonces pensamos: 15+45=60/2=30.
Pero eso funciona en algunos casos. El problema aquí es por cuándo debemos dividir, qué es lo que estamos “sopesando”. De allí que puede ser útil pensar el promedio en función del concepto de baricentro usado en astronomía.
2-BARICENTRO
Es el centro común de masas entre objetos. Una forma de pensarlo es así:
Tomamos un palo de escoba (o una regla). ¿En qué lugar deberíamos poner nuestro dedo debajo, para que la regla o el palo se mantengan en equilibrio?
Dado que el palo o la regla son homogéneos, entonces, en la mitad. De esa forma, queda la misma cantidad de materia (masa) a cada lado del dedo.
De tal forma, nuestro dedo queda “a mitad de camino” entre los valores extremos.
Pero eso no funciona siempre de esa manera. Si queremos hacer lo mismo con la escoba completa o con un martillo, el dedo deberemos ponerlo no ya “en el medio”, sino más cerca de donde hay más masa.
Lo mismo ocurre con el promedio. Veamos un par de ejemplos:
Ejemplo 1:
Diez alumnos dan un examen de Geografía. La mitad saca 4, los demás, 10.
Si usamos la forma intuitiva de la regla, ponemos los valores extremos a cada lado, el 4 y el 10. Dado que la cantidad de alumnos es la misma, debemos poner el dedo en el medio entre ambos valores. Ese “valor medio”, el baricentro de las notas, es 7, ya que está a 3 unidades de 4 y a 3 unidades de 10.
Ejemplo 2:
Cien alumnos dan un examen de Matemáticas. Uno saca 4, los demás, 10.
Pensemos la forma intuitiva:
Ponemos los valores en la regla, el 4 y el 10. Pero ahora sabemos que los que tienen 4 es uno solo y los que tienen 10 son 99. Hay “más peso” de un lado que del otro. Intuitivamente sabemos que el dedo no deberemos ponerlo “en el medio”, sino mucho más cerca del valor 10, ya que ahí está el mayor peso.
Si hacemos las cuentas, el promedio es 9,94, muy lejos del “valor medio” de 7.
3-BARICENTRO Y VELOCIDAD PROMEDIO
Con los ejercicios de velocidad promedio, tenemos que tener cuidado sobre qué estamos sopesando. Se suele usar la analogía de una balanza para considerar el baricentro, similar al ejemplo de la regla o el palo de escoba.
Veamos qué “balanceamos” cuando evaluamos velocidad, con un ejemplo similar al original, con ligeras diferencias.
Un auto circula 50 km a 50 km/h.
Luego se mueve otro tramo de igual longitud, pero a 100 km/h.
¿Cuál es la velocidad promedio al final?
Si nos movemos igual distancia a diferente velocidad, lo que va a cambiar en un tramo y otro es EL TIEMPO. Eso es lo que debemos considerar.
En el primer tramo el auto necesita 1 hora para trasladarse. En el segundo, 0,5 horas (ya que es la misma distancia al doble de velocidad).
En nuestra regla ponemos los dos valores de velocidad: 50 y 100. Pero sabemos que pasamos el doble de tiempo en el primer tramo que en el segundo. Hay mayor “masa” en la parte 50 de la regla que en la parte 100. El dedo no lo podemos poner “en el medio” (que serían 75), sino que va a quedar más cerca de 50 que de 100.
Para calcularlo con aritmética:
V= d/t, donde V es velocidad, d es distancia, t es tiempo.
d=100 km (la suma de ambos tramos).
t=1,5 horas (la suma de ambos tiempos)
V=100/1,5=66,6 km/h.
Para saber que hemos hecho las cosas bien podemos verificar que, si hubiéramos hecho todo el recorrido a la misma velocidad promedio, deberemos tardar la misma cantidad de tiempo.
Es decir que si v=66,6 y d=100km,
t=d/v; t=100 km/66,6 km/h; t=1.5 h.
Apliquemos este conocimiento para resolver el problema original.
4-EL AUTO DE EINSTEIN
Del primer tramo sabemos distancia y velocidad, por lo que podemos calcular tiempo.
Si v=d/t, entonces t=d/v.
t=1 km/15 km/h
t=1/15 h y dado que hay 60 minutos en una hora, 60/15=4 minutos.
Por tanto, en el primer tramo tardamos 4 minutos al viajar 1 km a 15 km/h.
En el segundo tramo debemos recorrer también 1 km. No sabemos velocidad ni tiempo.
Pero sí sabemos la velocidad promedio final y la distancia total, por lo que podemos calcular el tiempo total.
t=d/v
t=2 km (suma de los tramos) / 30 km/h (la velocidad promedio)
t=2/30.
¡Pero, alto! 2/30=1/15, son fracciones equivalentes.
Eso significa que para recorrer toda la distancia a 30 km/s debemos tardar 4 minutos.
¡Pero ya usamos los 4 minutos para el primer tramo!
Eso implica que para el segundo tramo, el tiempo debe ser 0. Y es obvio que es imposible.
Para finalizar la aritmética:
Tiempo total-tiempo tramo 1= tiempo tramo 2
4 minutos-4 minutos=0 minutos
Para el segundo tramo ahora sabemos distancia y tiempo, podemos calcular velocidad:
v=d/t
v=2 km/0
¡Pero no se puede dividir entre cero!
En la analogía de la regla o el palo de escoba, es como si para que quede en equilibrio debiéramos poner el dedo no en el medio, sino en un único punto donde esté toda la masa. ¡Es una singularidad!☉

Fuentes y enlaces relacionados


Este sencillo problema matemático casi engaña a Einstein: ¿puedes resolverlo?

Sobre las imágenes


¿Qué es un baricentro?
Captura de Risk Savvy: How to Make Good Decisions, de Gerd Gigerenzer
Fuente: noticiasdelcosmos